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一类三阶微分方程正解的存在性

时间:2012-02-26作者:李春燕来源:中国论文库
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  摘要:利用锥压缩拉伸不动点定理,讨论了一类非线性奇异的三阶微分方程三点边值问题,得出了正解的存在性.  关键词:边值问题;正解;不动点定理  0引言  近年来,随着微分方程理论的发

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  摘要:利用锥压缩拉伸不动点定理,讨论了一类非线性奇异的三阶微分方程三点边值问题,得出了正解的存在性.

  关键词:边值问题;正解;不动点定理

  0引言

  近年来,随着微分方程理论的发展,边值问题得到了广泛研究,特别是关于多点边值问题的研究非常活跃,如文献[1–4]分别研究了其正解的存在性问题.在此基础上,笔者讨论了如下三点边值问题(1)并得出了正解的存在性,其中,,.

  1一些引理

  首先,约定本文使用的符号如下:是Banach空间,其上的范数,是中非负函数构成的锥.其次,给出以下四个引理.

  引理1:设,则如下边值问题

  (2)有唯一解,其中:,而当时,;当时,[4](注:通过计算,可直接得到,,).

  引理2:假设,对任意的都有边值问题(2)的唯一解满足,并且[4].

  定义锥为,算子为,其中

  ,(3)于是,由引理1可知,是边值问题(1)的正解,当且仅当是算子的不动点时.

  为了便于问题的讨论,假设:1),;2)(注:由假设1)可知,一定存在满足).

  引理3:若假设1)和2)成立,则算子是全连续算子.

  证明:由引理2可知.定义算子和,其中:当时,;

  当时,;当时,;,且

  .因为在上连续,由Ascoli-Arzela定理[5]可知,在上是紧的.下面证明一致收敛于,令,对任意的和,当时,有.于是,在上也是紧的,则有:是全连续算子.

  引理4:设是一个Banach空间,www.lwkoo.com是一个锥.和是中的两个开集,且,.

  若是全连续算子,且满足:1),;且,;或2),;且,;则算子在中一定存在不动点[5].

  2主要结果

  为了方便起见,令,.

  定理1:若假设1)和2)成立,另有、、,且满足条件:1),;

  2),;那么,边值问题(1)至少有一个正解,且.

  证明:首先,考虑的情形.令,,由条件1)可知,,有,因此,,.另外,对任意的,有,.又由条件2)可知,,因此,有,.于是,由引理4中的条件2)可知,算子在中一定存在不动点,那么,就是BVP(1)的一个正解.对于的情形,用类似的方法也可证明.

  参考文献:

  [1]LIU B.Positive Solutions of a Nonlinear Three-point Boundary Value Problem[J].Appl Math Comput,2002,132:11-28.

  [2]LIU B.Positive Solutions of Second-order Three-point Boundary Value Problem with Change of Sign[J].Comput MathAppl,2004,47:1351-1361.

  [3]LIU B.Positive Solutions of a Nonlocal Three-point Boundary Value Problem[J].Comput Math Appl,2002,44:201-211.

  [4]SUN Y.Positive Solution of Singular Third-order Three-point Boundary Value Problems[J].Math Anal Appl,2005,306:589-603.

  [5]郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985:135-170.

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