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借助行列式研究解析几何题

时间:2011-10-22作者:熊伟来源:中国论文库
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  【摘要】本文主要是从代数和几何的联系发展中,给出了借助高等代数中的行列式知识来研究解析几何中的数学问题,从而更加清楚的认识行列式在解析几何中的广泛应用。  

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  【摘要】本文主要是从代数和几何的联系发展中,给出了借助高等代数中的行列式知识来研究解析几何中的数学问题,从而更加清楚的认识行列式在解析几何中的广泛应用。

  关键词:行列式解析几何代数

  行列式是高等代数的一个重要内容,它的学习对于学生数学能力的培养具有重要的作用,为许多后续课程打下了基础。而代数与几何之间有许多相通之处,在行列式的学习中融入解析几何思想,可以使代数更为直观,方便学生的了解掌握,同时可以更好地帮助学生解决在解析几何学习过程中所遇到的困难。本文针对两者的联系,简单的介绍了如何借助行列式研究解析几何过程所遇到的一些问题,从而让我们更加的了解行列式和解析几何相互融入的必要性。

  很多学生都知道,在学习解析几何的过程中,我们经常会遇到一些这样的几何问题,如:求通过定点的曲线方程、求平面上的三点是否共线、求平面上不同三点所围成的三角形的面积等等,像这些问题很多学生一般都只是运用几何里面的知识加以解答。但是,如果借助于代数知识中行列式来研究这些问题,那我们可以更清楚而快速的给以解决。下面就给出几个运用行列式来解决解析几何问题的结论:1.

  1 112211xyxyxy=0是经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的方程。

  2.平面上三点(x

  1,y1),(x2,y2),(x3,y3)共线的充要条件是111332211xyxyxy=0.

  3.三顶点为A(x

  1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)的三角形的面积S=21111332211xyxyxy的绝对值。

  4.方程a

  1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0表示的三直线共点的必要条件是333222111abcabcabc=0.

  这几个公式,揭示了平面解析几何知识与行列式之间的联系,为我们提供了用行列式研究解析几何问题的简便工具。下面给出这几个公式的几例应用。

  例1三角形的顶点为A(3,3),B(-1,-5),C(-6,0),求它的AB边的中线方程。

  解∵AB边的中点为(1,-1),C(-6,0),AB边的中线方程为111601xy1=0.

  即x+7y+6=0.

  例2过A(a,b+c),B(b,c+a),C(c,a+b)三点是否可以确定一个平面?解:∵111cabbcaabc=111cabcbabcaabc=0,A,B,C三点在同一直线上,故不能确定一个平面。

  例3已知直线x+ky+2=0经过两条直线3x+2y-9=0和x-1=0的交点,求k得值。

  解:∵直线x+ky+2=0与3x+2y-9=0和x-1=0共点,1013291 k2=0.k=1.

  例4双曲线的一条渐近线和经过焦点而垂直于这条渐近线的直线以及与这焦点相应的准线三线必共点。

  解:设双曲线为1

  2222!byax,它的一条渐近线为bx-ay=0,则经过焦点(c,0)而垂直于bx-ay=0的直线为ax+by-ac=0,与焦点(c,0)相应的准线为cx-a2=0.

  ∵ 200caabacba=a 2(c 2-b 2)-a 4=a 2*a 2-a 4=0,又以上三直线斜率互不相等,互不平行,必然相交。

  以上三直线必相交于一点。

  例5在以A(1,1)、B(8,4)、C(3,10)为顶点的三角形内找一点P,使它与各顶点的连线构成的三个三角形PAB、PBC、PCA的面积相等。

  解:设P点位(x、y),则三角形PAB、PBC、PCA的各顶点都是按逆时针方向排列的,故得:1113101131018411841111xy1 xyxy!!。

  即?#?!!4310. 4240,xyxy得?#?!!5.

  4, yx故所求的点是(4,5)。

  例6证明:双曲线的任何一条切线和它的渐近线所围成的三角形的面积是一个常数。

  解设双曲线为1

  2222!byax,则过点(x1,y1)的切线12121!byyaxx与渐近线y=xab%的交点为(112112,bxayabbxayab),(112112,bxayabbxayab)。

  S=1001121112112112112bxayabbxayabbxayabbxayab=21221233bxayab。

  ∵点(x1,y1)在双曲线上,b 22212212xay!ab.S=ababab!2233(定值)。

  通过上面的几个简单例题的介绍,使我们明白行列式在解析几何中有着广泛的应用,它使得对几何问题的讨论变得简捷明了,从而加深了代数与几何之间的融入和理解。总之,随着科学技术的迅猛发展及其数学化的趋势,行列式在初等数学中的应用必将越来越广泛。系统的研究行列式在初等数学中的应用,对于培养学生学习兴趣,巩固基础知识,锻炼和提高能力无疑是非常有益的。

  参考文献:

  [1]王仁发.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社.

  [2]郁金祥,刘锦萍.高等代数与解析几何的教学实践与认识[J].高等理科教育,2006年01期.

  [3]汤茂林行列式在初等代数中的巧用[J].廊坊师范学院学报,2008(3),9-10

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