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有限群可解子群的探讨

时间:2011-05-22作者:乔启发,薛胜利,尼亚孜别克来源:中国论文库
字号:T|T

摘要:讨论了非可解群的正规子群的可解性,以不包含正规子群K的极大子群M作为研
究工具,得出主要结果:(1)当M∩K是幂零群时,K可解;(2)当M∩K是p-幂零群时,

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摘要:讨论了非可解群的正规子群的可解性,以不包含正规子群K的极大子群M作为研
究工具,得出主要结果:(1)当M ∩K是幂零群时,K可解;(2)当M ∩K是p-幂零群时,则
K可解.进一步得出推论:若P()
p
∈Syl M ∩K,且P循环,则K可解(p为M ∩N的最小素因
子).
关键词:正规子群;可解群
中图分类号:O152.1文献标识码:A文章编号:1673—999X(2011)01—0015—03
    关于有限群的研究主要包括群表示与群构造两个方面,对群构造的研究主要从群的性质出发,而可解性是群的一个非常重要的性质.关于可

解性的研究,主要从两个方面入手,一是从群的阶出发定量分析,一是从群的一些特殊子群出发来研究群自身的可解性,尤其是后者,它是大

部分群论学者研究可解性的一个思路.本文主要从非可解群出发,研究子群的可解性,因为子群的性质对群本身会产生一定的影响,所以对子群

可解性的研究非常必要.
    本文中出现的群G均为有限群,未加说明的符号是标准的,同文献[1].
    1预备知识
    下文中的J (P)表示P的Tompson子群,其中P是一个素数幂阶群.令A( P)为P的具有极大阶的交换子群之集合,定义J (P)=?A A ∈A( P)?.
    定义1
    [1]一群G叫做可解的,如果有G ≥G ′≥G ″≥≥G (n )={e} G i G (i?1)n(),其中是的导群,为有限数.
    定义2
    [2]设G是有限群,()pP ∈Syl G.如果G有正规子群N,满足N ∩P=1,NP =G,则称G为p-幂零群,而称N为G的正规p-补.
    引理1
    [1]奇数阶群可解.
    引理2(Frattini论断)设N G,()pP ∈syl N,则G=()GN P N.
    参看文献[1]中的证明.
    引理3
    [4]可解群的子群和商群仍为可解群.
    引理4
    [2]设G为有限群,p为奇素数,()pP ∈Syl G,若((()))GN Z J P有正规p-补,则G有正规p-补.
    引理5可解子群的共轭子群是可解的.证设H为可解群,K是其共轭子群,即存在g ∈G,使得K =g ?Hg.由H可解知,存在自然数m,使得H =H

(0)H (1)H (2)H(m)=1.在G ,K中(1)()()H i +=[H i ,Hi].H(i+1)为H(i)的换位子群,从而有1K ′=[K ,K ]=g ?[H ,H ]g,利用归纳法,设K

(i )=[K (i ?1),K (i ?1)]=g ?1[H (i ?1),H (i ?1)]g =g ?1H (i)g,则(1)()()1()1()1()()1(1)K i +=[K i ,K i ]=[g ?H i g ,g ?H i g

]=g ?[H i ,H i ]g =g ?H i+g,所以K (m )=g ?1H (m)g =g ?1 g=1,从而K是可解群.
    2主要定理的证明
    定理1设G为有限群,M
    证设(G ,K)为极小阶反例,则可假设K>1且K非可解.假设N为G的极小正规子群,由K?M,得K MN N?,又由M ∩K为p-幂零群,则M KN N∩

亦为p-幂零群,从而(G ,K)N N满足定理假设条件,由(G,K)为极小阶反例知KN可解.
    下证N为可解极小正规子群.首先证明N是G的唯一极小正规子群,假设G还存在另一个极小正规子群1N,则KN,1KN均为可解群,因为1KN ∩N

同构于1K KN N×的子群,从而1KN ∩N可解,又因为1N ∩N=1,即K可解,与假设矛盾,所以N是G的唯一极小正规子群.假设N是非可解群,则N

不可能是素数阶群.设()pP ∈Syl N,则P/N,因为N是G的唯一极小正规子群,且p>2,由Frattini论断,G=N·GN(P)=·GN N(Z (J (Q))),且

GN(Z (J (Q)))
    推论1设G是有限群,M为G的极大子群,K G,且K ?M,若P()p∈Syl M ∩K,且P循环,则K可解(p为M ∩N的最小素因子).
    证参看文献[1]中的定理5.5,可证M ∩N为p-幂零群,然后再根据定理1可证K是可解的.
    定理2设G是一个有限群,K是群G的正规子群.如果群G的任何一个极大子群M不包含K且M ∩K是幂零的,则子群K可解.
    证假设N是群G的最小正规子群,则KNN是GN的正规子群,又G的每个极大子群MN不包含KNN且M KN (M KN)KN N K M K N∩=∩?∩∩,所以KNN

是幂零的.由群的同构定理得KN KN K N?∩,因此KK ∩N是可解的.若K ∩N ?K,则K ∩N是G的次正规子群,所以群G的任何一个极大子群不包含

K ∩N且K ∩N是幂零的,由K的选择和K ∩N ?K得,K ∩N是群G的可解子群.又由KK ∩N的可解性得K是可解子群.
    若K ∩N =K,则K ?N.假设x ∈G ,H是群G的不包含x1K =x ?Kx的极大子群,则极大子群1xH?不包含K,因为1(H x K )x H Kx?∩=∩,所以G

的任何一个极大子群不包含xK且K x∩N是幂零的.
    若K是交换群,则结论显然成立.假设K是非交换群,因为N是G的极小正规子群,所以1 nXXN =K ××K,其中1xK =K.假设P是N的西罗p-子群

,则ixP ∩K是ixK的西罗p-子群,因为1()()nXXP =P ∩K ××P ∩K,则设D=1 21 2()()()nx x xnx xxK K KN P ∩K ×N P ∩K ××N P ∩

K()N?N P,设y ∈D,则1 ny =y y,其中().
    i
    xixi Ky ∈N P ∩K又因为()i Ny ∈N P时,则()Ny ∈N P.由Frattini论断知()GG =N P N,且().
    G
    N P
    参考文献:
    [1]徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京:科学出版社,1999.
    [2]Hans Kurzweil,Bernd Stellmacher.The Theory of Finite groups[M].Springer-Verlag,2003.
    [3]李世荣.有限可解群的新刻画[J].广西科学,2008,15(4):330-333.
    [4]张远达.有限群的构造[M].武汉:武汉大学出版社,1980.
    [责任编辑:胡杨]
 

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