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浅谈高等数学教学中的数形结合

时间:2011-05-22作者:李宝德,马小玲,曹玲来源:中国论文库
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摘要:高等数学中的一些数学概念高度抽象,不易理解.例如,用ε?N语言描述的极限
及微分的概念,教材通常结合一个实例从极限的定性描述出发用分析法得到它的&epsil

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摘要:高等数学中的一些数学概念高度抽象,不易理解.例如,用ε?N语言描述的极限
及微分的概念,教材通常结合一个实例从极限的定性描述出发用分析法得到它的ε?N语言,本
文尝试用数形结合法得到.教材通常用一个特殊的实例演示线性化模型的微分,本文尝试对更一
般的连续函数用直观而简洁的数形结合的方法,来揭示这个线性化过程的实质,并进一步解释全
微分的线性化过程.
关键词:数形结合;高等数学;极限;微分
中图分类号:G642文献标识码:A文章编号:1673—999X(2011)01—0018—03
    1引言高等数学的主要内容是微积分,它是各专业大学生必修的一门基础课程,不仅培养学生高度的抽象思维能力和逻辑推理能力(如严密

的符号化语言及其推演),还为大学生进一步学习工程技术、经济模拟及计算机工程等其他自然科学提供了强有力的工具.但对于刚迈入大学校

门的新生来说,凭经验和直观建立起来的概念与严格的数学符号化定义及抽象的逻辑演绎之间存在着一条难以逾越的鸿沟.例如,数列极限的概

念高度抽象,与学生已有的经验大不相同,根本无法用简单的数学计算得到结果,尤其是其严格化的定义ε?N语言,更让学生迷茫.要使学生的

数学思维顺利地过渡到高级数学思维,是对高等数学教学的很大挑战.数形结合的教学方法是帮助学生克服一些学习障碍的有效方法.
    数与形是现实世界中客观事物的反映,是数学研究的两类基本对象.“数”主要指实数、复数或代数及其关系,它们是属于数学中抽象思维

的范畴,是人左脑思维的产物;而“形”主要指几何图形,属于形象思维的范畴,是人的右脑思维的产物.
    数量关系借助于图形性质,使许多抽象的概念和关系变得直观而形象,这称为以形助数[1].如函数的导数、不定积分及定积分的几何意义

等,而涉及图像的问题转化为数量关系,又可以获得严谨的刻画与描述,这称为以数辅形.如求曲线的曲率、弧长及旋转体的体积等.高等数学

中运用数形结合得到了许多优美的结果.我们也将借助数形结合的方法来讲解一些抽象的概念.以下以极限的ε?N语言及线性化的模型微分为例

分析.
    2数列极限定义的引入
    教材中先引入数列极限定义的定性描述,即如果n无限增大时,数列na无限趋近于常数a,则称该数列以a为极限.接着,再引入数列极限定

义的定量描述,即ε?N语言.这个定量描述定义的引入是高等数学中的一个教学难点.关于极限定义的引入还可参见文献[2,3].以下便以文献[4]

中的实例分析法与本文的数形结合法为例做对比.
    2.1实例分析法引入极限的ε–N语言在高等数学教材中,通常结合一个实例从极限的定性描述出发用分析法得到它的ε?N语言[4].
    具体地,“数列{1+(?1)n /n}以1为极限”可用自然语言叙述为:当n无限增大时,通项an ={1+(?1)n/n}无限趋近于常数a=1.上述语言可以

改述为当n无限增大时,差值1(1)n1 1/na ?a =+??=n无限变小.为了摆脱模糊的“无限”,再改述为当n充分大时,差值1/na ?a =n充分小.n充

分大反映了变量na在其变化过程中的某一时刻,差值1/na ?a =n充分小,反映了变量na与常量a的差值变小的程度.为对充分大与充分小做出确

定的估计,我们来寻求能表示n充分大的时刻N和能表示差值1/na ?a =n小到何种程度的常数ε,即1/na ?a =n<ε.
    例如,要使1/
    na ?a =n小到不超过1ε=0.1的程度,只要n>10就可以了.我们就取时刻1N=10,数列从第11项起,数列的所有项与1之差的绝对值都不会超

过1ε=0.1.这就可以用数学语言定量地叙述为:当1n >N=10时,11/0.1na ?a =n<=ε恒成立.此处的“恒”针对1n >N=10的一切n而言.
    要使
    21/0.01na ?a =n<=ε,只要n>100就可以了.
    我们就取时刻
    2N=100,数列从第101项起,数列的所有项与1之差的绝对值都不会超过0.01,即当2n >N=100时,21/0.01na ?a =n<=ε恒成立.类似地,依

次取3ε=0.001,4ε=0.0001,…,都能找到相应的时刻3N=1000,4N=10000,…,使得当n >N时,1/n ia ?a =n<ε恒成立(i=1,2,3,???).因为

iε可以取任意小的正数,所以ia与1可以任意地接近.这就完全准确地反映了在n无限变大的过程中,na无限趋近于常数1的变化趋势.我们索性

把“任意小的正数”简述为“任意正数ε(无论它多么小)”,把iε对应的时刻iN简记作N =N(ε),或者更简洁地记作N.于是得到用数学语言

刻画的数列极限的定量描述:如果对于任意正数ε(无论它多么小),总存在相应的正数N,使得满足n >N的一切n,能使不等式na ?a<ε恒成

立,则称数列{}na以a为极限.
    2.2数形结合法引入极限的ε–N语言从极限的定性描述出发,“当n无限增大时,na可无限接近a”,又可改述为“当n越大时,na会在以a

为中心的越小的邻域内.”(如图1).
    图1
    我们将上述的动态逼近过程等价地用它的任意一个静止状态来描述.即对以a为中心,以任意小的正数ε为半径的开区间(a ?ε,a+ε)都“

装”得下某个N(ε)项以后的所有na.其中对n >N(ε),na“装”在(a ?ε,a+ε)中,又可理解为当n >N(ε)时,na ?a<ε.则上述理解又可转述

为:对于任意正数ε(无论它多么小),总存在相应的正数N,使得满足n >N的一切n,能使不等式na ?a<ε恒成立.
    即得数列极限的ε?N语言.
    上述两种讲授方式各有特点.“分析法”结合一个有极限的数列,通过细致的分析与抽象,将极限的定性描述一步一步地规范为严格的数学

语言,即极限的ε?N语言.而“数形结合”是将极限的收敛过程等价地在数轴上用区间直观地呈现出来,借助图形的直观,大大简化了归纳分析

过程,抽象出了极限的ε?N语言.
    3线性化的模型:微分
    在理论研究中,常常会遇到这样的问题:当自变量x发生微小变化Δx时,求函数y =f (x)的微小变化量Δy.看来只要用减法运算就可以了.

然而,对较复杂的函数f (x),差值Δy=f (x +Δx)?f (x)却是一个复杂的表达式,不易求得其值.这时我们可以设法将Δy表示成Δx的线性函

数,即线性化,从而把复杂的问题化为简单的问题,微分就是实现这种线性化的数学模型.具体地,若Δy还能表示为AΔ x +o (Δx),其中A是

不依赖于Δx的常数,o (Δx)是Δx的高阶无穷小,那么就称函数y =f (x)在x点是可微的,AΔ x叫做函数y =f (x)在x点处相应于Δx的微分.

从定义可知,当Δx很小时,o (Δx)也很小,则可得Δy ≈AΔ x.但这概念从表达式上来看是很抽象的,难以理解.教材中用了一个实例来演示

了这个线性化的过程[4].本文将对更一般的函数,用数形结合的方式来解释这个线性化的过程.
    3.1实例演示线性化过程
    设有一块边长为x的正方形铁皮,则其面积S为2x.当铁皮均匀加热后,边长伸长Δx时,面积的改变量为ΔS =(x +Δx )2 ?x 2 =2x Δx +(

Δx)2,如图2所示.ΔS由两部分构成.一部分是两个长方形的面积之和,一部分是小正方形的面积.即当Δx很小时,ΔS的数值近似等于第一部

分2x Δx,是关于Δx的线性表达式.即ΔS ≈2x Δx(1)函数的改变量近似表示成了自变量的改变量的线性表达式.但线性表达式的一般形式

为y =Ax +B的形式,而(1)式为y =Ax的形式.这种形式是否具有一般性呢?这从上面的实例中不得而知.下面用数形结合的方式来解释这线性

化过程,同时对上面的问题给出了肯定的回答.
    3.2数形结合解析线性化过程
    不妨假设y =f (x)是一个连续函数.任取一段小区间[x ,x +Δx],当Δx很小时,y =f (x)在[x ,x +Δx]上的图像近似一线段(极限理论

中常用的以直代曲法),如图3,则有y =f (x )≈Ax +B的形式,A和B是与x无关的常数.那么,Δy =f (x +Δx )?f (x )≈A (x +Δx )+B ?

(Ax +B)=AΔ x.函数的改变量近似表示为了自变量的改变量的线性表达式,且严格地说,函数的改变量与自变量的改变量的关系为y=Ax的形式.

则用数形结合的方式解释了线性化过程,同时对上面的问题给出了肯定的回答.
    图2
    图3我们还可利用此方法解释二元连续函数全微分的线性化过程.即对二元连续函数z =f (x ,y),当给变量x以很小的增量Δx,给变量y以

很小的增量Δy时,z =f (x ,y)的全增量Δz =f (x +Δx ,y +Δy)?f (x ,y)有近似估计Δz =AΔ x +B Δy(2)其中A和B分别是与Δx及Δy

无关而仅与x及y有关的常数.这从表达式上似乎难以理解.下面我们用数形结合来解释.z =f (x ,y)的图像为三维空间中的一个曲面,当x与y的

增量Δx与Δy很小时,z =f (x ,y)的图形在[x ,x +Δx ]×[y ,y +Δy]上近似于一个平面,如图4,即有z ≈Ax +By +C,进一步可得z的近似

全增量z ≈A( x +Δx)+B (y +Δy)+C ?(Ax +By +C)=AΔ x +B Δy,即得(2)式.
    对上述两种解释线性化的过程,教材中的实例法却因实例的特殊性而不易理解线性化过程的本质.数形结合法从一般的连续函数出发,结合

其图形,当自变量的改变量很小时,利用其函数图像呈现的近似的线性关系推演出了因变量与自变量的近似线性关系,将线性化的本质反映出

来.
    图4
    4结论从上面的两个例子看来,数形结合的教学法运用严谨的代数推理并结合形象直观的图形,可以将某些抽象的概念解释得清楚明了,并

给学生留下形象直观的感性认识,也为他们进一步深入理解这些抽象概念提供了一个思考分析的几何模型.教师也可以启发学生运用数形结合的

思想去解决问题,以充分锻炼他们左右脑的思维功能,使学生的形象思维与逻辑思维能力得到协调的发展.
    参考文献:
    [1]王佳灯.数形结合解题中要注意的几个问题[J].数学教学,2005(5):24-26.
    [2]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].
    北京:高等教育出版社,2007.
    [3]欧阳光中,朱学炎,金福临,等.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2007.
    [4]张国楚,徐本顺,王立冬,等.大学文科数学(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2007.
    [责任编辑:胡杨]
   
 

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